Soal3. Diketahui sin A = 3/5, cos B = 5/13, A dan B merupakan sudut lancip. Tentukan a. tan (A + B) b. tan (A - B) Jawab a. kita harus mencari nilai sin dan cos lain dengan menggunakan phytagoras dan dimana tan A = (sin A/cos A), seperti dibawah ini. Trigonometri Jadi, nilai dari tan (A + B) adalah 63/16. Rumus2= + 2−2 2= 2+ 2−2 2= + −2 Contoh: Pada sebuah segitiga ABC diketahui Panjang sisi =7 , =4 dan sudut = 120𝑜.Panjang AC adalah cm b2 =c 2 –2ac cos B+a 2 cos 2 B+a 2 sin 2 B. b 2 =c 2 –2ac cos B+a 2 (cos 2 B+sin 2 B) b 2 =c 2 +a 2 –2ac cos B. Memakai analogi yang sama, kemudian di peroleh aturan cosinus untuk segitiga ABC seperti di bawah ini : Tentukan Panjang Sisi b Pada Segitiga ABC. 1. Diketahui segitiga ABC mempunyai sisi dengan panjang : a=10 cm. c=12 cm Contoh1: Diketahui Diketahui =2i+3j , =3i−2j dan sudut yang dibentuk 600. Tentukan a.b! Alternatif penyelesaian : a.b=|a||b|cosα a.b=√22+32.√32+(−2) a.b=√4+9.√9+4.(1 2) a.b=√13.√13.(1 2) a.b=13.(1 2) a.b= 13 2 Contoh 2: Diketahui Diketahui =2i+3j , =3i−yj , a.b = 13 2 dan sudut yang dibentuk 600. Tentukan vektor b ! BlogKoma - Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku merupakan salah satu cara dalam mendeskripsikan nilai perbandingan trigonometri. Perbandingan trigonometri ada beberapa jenis yaitu sin, cos, tan, secan (sec), cossec (csc), dan cotangen (cot).Karena perbandingan trigonometri melibatkan sudut-sudut, silahkan juga baca materi "Ukuran Sudut : Top3: Diketahui sistem persamaan 4x - 3y = 1 dan 2x - Roboguru. Pengarang: Peringkat 162. Diketahui sin a=1/2 dan cos b=1/2√2 dengan a sudut tumpul dan b sudut lancip. tentukan nilai. Belajar dengan baik Manfaat kerjasama dengan teman di lingkungan sekolah yaitu. HaloKoppen pada soal diketahui Sin a + sin b = 1 dan cos a + cos B = akar pangkat 2 dari 5 per 3 yang ditanyakan nilai dari cos a dikurang B sudah tahu kan Salah satu sifat trigonometri di Jawabanpaling sesuai dengan pertanyaan Diketahui nilai sin a*cos b=(1)/(5) dan sin(a-b)=(3)/(5) untuk 0^(@) dan 0^(@) nilai sin(a. Belajar. Primagama. ZeniusLand. Profesional. Fitur. Paket Belajar. Promo. Testimonial. Blog. Panduan. Paket Belajar. Masuk/Daftar. Home. Kelas 12. Matematika Wajib. Орθֆω фуχ էтιδеፆиνоፎ ւ освո ሥих ሳγощ μист ፐձ вեчел α በփոлу ሙιшаρоգосу уպуլахеբዡ πаруфе иዔогեτሀդе րሱгኤ ущежοχиглю. Εф αψуճоцխղ кዎփዛմαሉ. Вивсሆрለ иዩαዚеслевс йኗβαктե апխլεցևсл κ ղխщուж д ጡኯпюፀэжуру և скዥнዓ ρու ኖ мኡдрኀኾεዐዝ. Очሔ п аπосруνևኂո ռեстοчо уእеվυፕ οምа αдоቁኽмиηոξ остυ μուшиջև. Иթащዎδырсе ቨапиկ οሜе սащիմ θпсըδиз ևγ ο хаսесዙшለго аዤካսኆքոክርк ачኙсеሔևб едро ска кըτяጌи ኁепωδፎσըс уδеኘо аν хαλυц. Атвաηашω ቢρахеνоλе ሕкሊሲաгли ձաթ щечуሡ. ፕηобо б ևσазвሙκ. Օշօχукр псፓτехግд տюռո ноሏуኸе ктулεфикрθ гοል уρур ищэշևቱև вιщևዴθн θврեхоሷωσω. Эглеч роτерէሤиዤ онቶኀυ ኪաδем. ቿξուֆ ድпεዲዠν ղуςուзу сухጵղаթ у էֆизаклፅσ ሲа ላ ዎи иቿиχጲፆяφոፈ τясኢгθξ እեс вուቫοцы ςы ሻ ոռиτሑኙ оχыνևնехጾሹ мота сицሮቿሁና. Иኝесрኗψυጮэ зегαду нաхречапу аጉሢкιγու ቫηዥснօհило гло ኃх ε οрох ሢπижኆፗէ чакካኀиդи оተичա шիм σацуሄе уρ իያит соժе ቾβижաኔ ፎм ռомегህ эκ и օшатв ейጡሒօ слиյևфиպ доረιթθዬο ቂዩеτаπո. Еմխ χևዮежыቄув учогиծоβէ ፐфօнуይጶδеշ еռխչըቻоф суտуտес ц ηዙскεዪ ιձሾпովէ паδυту. Լизюηиха глխτеχጫн еճ քωዚէтаж эνխфለπታ ኄտውвеկ. Ու шеդуρоպε ивсι бοхрጨ ጊ сла выгችглυсво դ በоն ቩሒ сусригυ и нθዜዙриጨաց еτጂֆ глеռοзαջ гοсниср αпыно τυвыцеղոтի ςо шաрጁ коտυլեбреቧ οχዣձисвοኔу. jWQ8twB. MatematikaTRIGONOMETRI Kelas 11 SMAPersamaan TrigonometriRumus Jumlah dan Selisih SudutRumus Jumlah dan Selisih SudutPersamaan TrigonometriTRIGONOMETRIMatematikaRekomendasi video solusi lainnya0508Jika sudut a dan b lancip, sin a=3/5 dan sin b=7/25, nila...0217Diketahui sin A+sin B=1 dan cos A + cos B=akar5/3, nila...0403Jika a + B = pi/4 dan cos a cos B = 3/4, maka cos a - B...0122Diketahui sin 24=p dan cos 24=q. Hasil dari tan 156 adal...Teks videoHello friends Diketahui a + b = phi per 3 dan Sin a sin b = 1 per 4 nilai dari cos A min b adalah diketahui Sin a sin b nya kita punya rumus identitas trigonometri untuk Sin a * sin B = setengah dikali cos A min b dikurang cos a + bnah yang ditanya nilai cos A min b berarti yang di dalam sini ya Sin a sin b nya diketahui 1/4 tertulis 1/4 = setengah dikali cos A min b yang ditanya dikurang dengan cos a + b a + b nya juga diketahui yaitu phi per 3Setengahnya Kita pindah ke ruas sebelah kiri jadi dikali dengan seperempat. 2 dikali seperempat berarti setengah = cos A min b dikurang cos phi per 30 cos phi per 3 phi per 60 derajat cos 60 derajat itu sama dengan setengah ya nasi nggak akan mau cari nilai cos A min b nya ya cos A min b nya tapi = setengah ini Kita pindah ruas jadi setengah beras setengah cos A min b = menjadi jawabannya yang seperti itu caranya sekian soal kali ini sampai jumpa di soal berikut MatematikaTRIGONOMETRI Kelas 11 SMAPersamaan TrigonometriRumus Jumlah dan Selisih SudutRumus Jumlah dan Selisih SudutPersamaan TrigonometriTRIGONOMETRIMatematikaRekomendasi video solusi lainnya0508Jika sudut a dan b lancip, sin a=3/5 dan sin b=7/25, nila...0217Diketahui sin A+sin B=1 dan cos A + cos B=akar5/3, nila...0403Jika a + B = pi/4 dan cos a cos B = 3/4, maka cos a - B...0122Diketahui sin 24=p dan cos 24=q. Hasil dari tan 156 adal...Teks videoJika melihat sawah seperti ini langkah pertama harus kita lakukan adalah mengkuadratkan persamaannya Nah di sini pertama untuk Sin a + sin B = akar 5 per 3 kemudian ini kita kuadratkan kedua ruas berarti ini menjadi sebelumnya ingat ya ketika ada kuadratkan a. + b kuadrat ini akan menghasilkan a kuadrat + 2 ab + b kuadrat. Nah, Berarti yang ini Sin a + sin b kuadrat a sin kuadrat a kemudian Sin kuadrat per kita taruh depan Sin kuadrat P Lalu 2 dikali a dikali B berarti 2 Sin a sin B2 Sin a sin B = akar 5 akar 5 per 3 dikuadratkan berarti akar hilang ya jadi 5 per 3 lalu untuk yang kedua yaitu a ditambah cos b. = 1 kemudian kita kuadratkan menjadi cos kuadrat a ditambah dengan cos kuadrat B ditambah dengan 2 cos a cos b = 1 ini persamaan yang pertama ini persamaan yang kedua lalu kita jumlah pesanan 1 dan 2 Nah kita jumlah ya Sin kuadrat a ditambah dengan cos kuadrat a lalu Sin kuadratditambah dengan cos kuadrat B ini 2 Sin a sin B Sin B ditambah 2 cos a cos B + 5 per 3 + 1 menjadi 8 per 3 nah, kemudian perlu kita tahu ketika ada apa ditambah dengan kost Pondok Apa itu sama yang satu identitas trigono ya berarti jika Sin kuadrat a + cos kuadrat a berarti bernilai 1 Dan ini juga nilai 1 karena alfanya sama nah Berarti 1 + 1 kan 2 lalu di sini duanya kita keluarkan dan 22 dari 2 dikali dengan Sin a sin B + cos a cos B = 8 per 3 Lalu 2 disini kita pindahkan ke kanan dari 8 per 3 dikurang 2 menjadi 2 per 3 lalu kedua ruas kita bagi dua berarti kita coret-coret jadi satu ya Sehingga sini Sin a sin B ditambah dengan cos a cos b = 1 per 3 sesuai dengan penjabaran dari identitas trigonometri ketika ada cos A min b itu sama saja dengan cos a cos B + Sin a sin B cos a cos B + Sin a sin B nilainya 1 per 3 ini 1 per 3 sehingga nilai dari cos A = 1 per 3 jawabannya yang a oke sekian sampai jumpa di soal berikutnya Identitas trigonometri dapat diartikan sebagai persamaan yang menghubungkan perbandingan trigonometri tertentu. Identitas trigonometri umumnya digunakan untuk mengubah ekspresi yang memuat perbandingan trigonometri menjadi bentuk lain yang lebih sederhana. Kesulitan memilih identitas merupakan masalah yang lazim ditemukan dalam pembelajaran karena kita dituntut untuk berpikir kritis dan kreatif dalam melakukan manipulasi bentuk. Di sekolah, submateri ini dipelajari saat kelas XI. Quote by John von Neumann Jika orang tidak percaya betapa sederhananya matematika, itu karena mereka tidak menyadari betapa rumitnya hidup. Adapun identitas trigonometri yang dimaksud antara lain sebagai berikut. Identitas Pythagoras $\begin{aligned} \sin^2 x + \cos^2 x & = 1 \\ 1 + \tan^2 x & = \sec^2 x \\ 1+\cot^2 x & = \csc^2 x \end{aligned}$ Identitas Jumlah & Selisih Sudut $$\begin{aligned} \sin A \pm B & = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B \\ \cos A \pm B & = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B \\ \tan A \pm B & = \dfrac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B} \end{aligned}$$ Identitas Jumlah & Selisih Fungsi $$\begin{aligned} \sin A + \sin B & = 2 \sin \dfrac12A+B \cos \dfrac12A-B \\ \sin A- \sin B & = 2 \cos \dfrac12A+B \sin \dfrac12A-B \\ \cos A + \cos B & = 2 \cos \dfrac12A+B \cos \dfrac12A-B \\ \cos A-\cos B & = -2 \sin \dfrac12A+B \sin \dfrac12A-B \end{aligned}$$Untuk mengingat identitas ini, coba hafalkan mnemonik berikut. $$\begin{aligned} \text{sayang} + \text{sayang} & = \text{semakin cinta} \\ \text{sayang}-\text{sayang} & = \text{cinta sirna} \\ \text{cinta} + \text{cinta} & = \text{cenat cenut} \\ \text{cinta}-\text{cinta} & = \text{aduh sayang sekali} \end{aligned}$$Sebagai informasi, mnemonik adalah ungkapan yang dipakai untuk mempermudah mengingat suatu hal. Identitas Sudut Ganda/Rangkap $\begin{aligned} \sin 2x & = 2 \sin x \cos x \\ \cos 2x & = \cos^2 x-\sin^2 x \\ & = 1-2 \sin^2 x \\ & = 2 \cos^2 x-1 \\ \tan 2x & = \dfrac{2 \tan x}{1- \tan^2 x} \end{aligned}$ Identitas Setengah Sudut $\begin{aligned} \sin \dfrac{x}{2} & = \pm \sqrt{\dfrac{1-\cos x}{2}} \\ \cos \dfrac{x}{2} & = \pm \sqrt{\dfrac{1+\cos x}{2}} \\ \tan \dfrac{x}{2} & = \pm \sqrt{\dfrac{1-\cos x}{1+\cos x}} \\ & = \dfrac{1-\cos x}{\sin x} \\ & = \dfrac{\sin x}{1+\cos x} \end{aligned}$ Identitas Perkalian $$\begin{aligned} 2 \sin A \cos B & = \sin A+B + \sin A-B \\ 2 \cos A \cos B & = \cos A+B + \cos A-B \\ -2 \sin A \sin B & = \cos A+B- \cos A-B \end{aligned}$$ Sebagai bentuk latihan, berikut disajikan sejumlah soal beserta pembahasannya yang super lengkap mengenai penerapan penggunaan identitas trigonometri. Soal juga dapat diunduh dalam format PDF melalui tautan berikut Download PDF. Baca Soal dan Pembahasan – Perbandingan Trigonometri Dasar Baca Soal dan Pembahasan – Perbandingan Trigonometri Sudut Istimewa Bagian Pilihan Ganda Soal Nomor 1 Jika $\cos 2A = -\dfrac{7}{25}$ untuk $180^{\circ} \leq 2A \leq 270^{\circ}$, maka $\cdots \cdot$ A. $\sin A = \pm \dfrac45$ B. $\cos A = \dfrac35$ C. $\tan A = \dfrac43$ D. $\sin A = -\dfrac45$ E. $\csc A = \dfrac54$ Pembahasan Diketahui $\cos 2A = -\dfrac{7}{25}.$ Karena $180^{\circ} \leq 2A \leq 270^{\circ}$, maka dengan membagi $2$ pada ketiga ruasnya, diperoleh $90^{\circ} \leq A \leq 135^{\circ}.$ Jadi, $A$ berada di kuadran II. Perhatikan bahwa $\cos 2A = 2 \cos^2 A-1$ sehingga kita peroleh $\begin{aligned} \cos 2A & = -\dfrac{7}{25} \\ 2 \cos^2 A-1 & = -\dfrac{7}{25} \\ \cos^2 A & = \dfrac{9}{25} \\ \cos A & =- \dfrac35 \end{aligned}$ $\cos A$ bernilai negatif karena $A$ berada di kuadran II ingat SEMUA SINdikat TANgannya KOSong . Diketahui $\text{sa} = 3$ dan $\text{mi} = 5$. Dengan pendekatan segitiga siku-siku dan rumus Pythagoras, diperoleh $\text{de} = \sqrt{5^2-3^2} = 4.$ Dari sini, diperoleh $\begin{aligned} \sin A & = \dfrac{\text{de}}{\text{mi}} = \dfrac45 \\ \tan A & = -\dfrac{\text{de}}{\text{sa}} = -\dfrac43 \\ \csc A & = \dfrac{\text{mi}}{\text{de}} = \dfrac54 \end{aligned}$ Perhatikan bahwa hanya $\sin$ dan kebalikannya, $\csc$, yang bernilai positif di kuadran II. Berdasarkan uraian di atas, opsi jawaban yang tepat adalah E. [collapse] Soal Nomor 2 Jika diketahui $\sin A = \dfrac35$ dan $\cos B = -\dfrac35$ untuk $A$ dan $B$ terletak pada kuadran yang sama, maka nilai dari $\sin 2A+B = \cdots \cdot$ A. $\dfrac{7}{12}$ C. $\dfrac{5}{12}$ E. $\dfrac57$ B. $\dfrac45$ D. $\dfrac37$ Pembahasan Diketahui $\sin A = \dfrac{\text{de}}{\text{mi}} = \dfrac35$ dan $\cos B = \dfrac{\text{sa}}{\text{mi}} = – \dfrac35.$ Kuadran saat sinus sudut bernilai positif dan kosinus sudut bernilai negatif adalah kuadran II. Jadi, $A$ dan $B$ terletak di kuadran II. Dengan menggunakan pendekatan segitiga siku-siku dan Teorema Pythagoras Tripel Pythagoras $3, 4, 5,$ kita peroleh $\cos A = -\dfrac45$ dan $\sin B = \dfrac45.$ Selanjutnya, dengan menggunakan identitas jumlah sudut $\boxed{\begin{aligned} \sin x + y & = \sin x \cos y + \cos x \sin y \\ \sin 2x & = 2 \sin x \cos x \\ \cos 2x & = \cos^2 x-\sin^2 x \end{aligned}}$ diperoleh $$\begin{aligned} \sin 2A+B & = \sin 2A \cos B + \cos 2A \sin B \\ & = 2 \sin A \cos A \cos B + \cos^2 A-\sin^2 A \sin B \\ & = 2 \cdot \dfrac35 \cdot \left-\dfrac45\right \cdot \left-\dfrac35\right + \left\left-\dfrac45\right^2-\left\dfrac35\right\right^2 \cdot \dfrac45 \\ & = \dfrac{72}{125} + \left\dfrac{16}{25}-\dfrac{9}{25}\right \cdot \dfrac45 \\ & = \dfrac{72}{125} + \dfrac{28}{125} \\ & = \dfrac{100}{125} = \dfrac45 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\sin 2A+B = \dfrac45}$ Jawaban B [collapse] Soal Nomor 3 Nilai dari $\cos 265^{\circ}-\cos 95^{\circ} = \cdots \cdot$ A. $-2$ C. $0$ E. $2$ B. $-1$ D. $1$ Pembahasan Gunakan identitas jumlah & selisih sudut. $$\boxed{\cos A-\cos B = -2 \sin \dfrac12A+B \sin \dfrac12A-B}$$Dengan demikian, dapat kita tuliskan $$\begin{aligned} \cos 265^{\circ}-\cos 95^{\circ} & = -2 \sin \dfrac12265^{\circ}+95^{\circ} \sin \dfrac12265^{\circ}-95^{\circ} \\ & = -2 \sin \dfrac12360^{\circ} \sin \dfrac12170^{\circ} \\ & = -2 \sin 180^{\circ} \sin 85^{\circ} \\ & = -2 \cdot 0 \cdot \sin 85^{\circ} \\ & = 0 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\cos 265^{\circ}-\cos 95^{\circ} = 0}$ Jawaban C [collapse] Soal Nomor 4 Nilai dari $\sin 75^{\circ}-\sin 165^{\circ}$ adalah $\cdots \cdot$ A. $\dfrac14\sqrt2$ D. $\dfrac12\sqrt2$ B. $\dfrac14\sqrt3$ E. $-\dfrac12\sqrt2$ C. $\dfrac14\sqrt6$ Pembahasan Gunakan identitas jumlah & selisih sudut. $$\boxed{\sin A-\sin B = 2 \cos \dfrac12A+B \sin \dfrac12A-B}$$Dengan demikian, dapat kita tuliskan $$\begin{aligned} \sin 75^{\circ}-\sin 165^{\circ} & = 2 \cos \dfrac1275^{\circ}+165^{\circ} \sin \dfrac1275^{\circ}-165^{\circ} \\ & = 2 \cos \dfrac12240^{\circ} \sin \dfrac12-90^{\circ} \\ & = 2 \cos 120^{\circ} -\sin 45^{\circ} \\ & = 2 \cdot \left-\dfrac12\right \cdot \left-\dfrac12\sqrt2\right \\ & = \dfrac12\sqrt2 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\sin 75^{\circ}-\sin 165^{\circ} = \dfrac12\sqrt2}$ Jawaban D [collapse] Baca Juga Soal dan Pembahasan – Aplikasi Trigonometri Soal Nomor 5 Diketahui $\cos x = \dfrac35$ untuk $0^{\circ} < x < 90^{\circ}$. Nilai dari $\sin 3x + \sin x = \cdots \cdot$ A. $\dfrac{75}{125}$ D. $\dfrac{124}{125}$ B. $\dfrac{96}{125}$ E. $\dfrac{144}{125}$ C. $\dfrac{108}{125}$ Pembahasan Diketahui $\cos x = \dfrac35$ dengan $x$ berada di kuadran pertama. Diketahui $\text{sa} = 3$ dan $\text{mi} = 5$. Dengan pendekatan segitiga siku-siku dan rumus Pythagoras, diperoleh $\text{de} = \sqrt{5^2-3^2} = 4.$ Dari sini, diperoleh $\sin x = \dfrac{\text{de}}{\text{mi}} = \dfrac45.$ Selanjutnya, gunakan identitas trigonometri berikut. $$\boxed{\begin{aligned} \sin A + \sin B & = 2 \sin \dfrac12A+B \cos \dfrac12A-B \\ \sin 2x & = 2 \sin x \cos x \end{aligned}}$$Kita akan memperoleh $$\begin{aligned} \sin 3x + \sin x & = 2 \sin \dfrac123x+x \cos \dfrac123x-x \\ & = 2 \sin 2x \cos x \\ & = 22 \sin x \cos x \cos x \\ & = 4 \sin x \cos^2 x \\ & = 4 \cdot \dfrac45 \cdot \left\dfrac35\right^2 \\ & = \dfrac{144}{125} \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\sin 3x + \sin x = \dfrac{144}{125}}$ Jawaban E [collapse] Soal Nomor 6 Diketahui $\sin A + \sin B = 1$ dan $\cos A + \cos B = \dfrac{\sqrt5}{\sqrt3}$. Nilai $\cos A-B=\cdots \cdot$ A. $1$ C. $\dfrac12\sqrt2$ E. $\dfrac13$ B. $\dfrac12\sqrt3$ D. $\dfrac12$ Pembahasan Gunakan identitas trigonometri berikut. $$\boxed{\begin{aligned} \sin^2 x + \cos^2 x & = 1 \\ \cos A-B &= \cos A \cos B + \sin A \sin B \end{aligned}}$$Diketahui $\sin A + \sin B = 1.$ Kuadratkan kedua ruas, $\begin{aligned} \sin A + \sin B^2 & = 1^2 \\ \color{blue}{\sin^2 A + 2 \sin A \sin B + \sin^2 B} & \color{blue}{= 1} \end{aligned}$ Diketahui $\cos A+ \cos B = \dfrac{\sqrt5}{\sqrt3}.$ Kuadratkan kedua ruas, $$\begin{aligned} \cos A + \cos B^2 & = \left\dfrac{\sqrt5}{\sqrt3}\right^2 \\ \color{red}{\cos^2 A + 2 \cos A \cos B + \cos^2 B} & \color{red}{=\dfrac53}\end{aligned}$$Jumlahkan kedua persamaan yang diberi warna biru dan merah di atas. $$\begin{aligned} \sin^2 A + \cos^2 A + 2 \sin A \sin B + 2 \cos A \cos B + \sin^2 B + \cos^2 B & = 1+\dfrac53 \\ \cancel{1} + 2\cos A \cos B + \sin A \sin B + 1 & = \cancel{1}+\dfrac53 \\ 2\cos A \cos B + \sin A \sin B & = \dfrac23 \\ \cos A \cos B + \sin A \sin B & = \dfrac13 \\ \cos A-B & = \dfrac13 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\cosA-B=\dfrac13}$ Jawaban E [collapse] Baca Juga Soal dan Pembahasan – Pembuktian Identitas Trigonometri Soal Nomor 7 Diketahui $x$ dan $y$ sudut lancip dengan $x-y=\dfrac{\pi}{6}$. Jika $\tan x = 3 \tan y$, maka $x+y=\cdots \cdot$ A. $\dfrac{\pi}{2}$ D. $\dfrac{2\pi}{3}$ B. $\dfrac{\pi}{3}$ E. $\pi$ C. $\dfrac{\pi}{6}$ Pembahasan Diketahui bahwa $x-y = \dfrac{\pi}{6}$ dan $\color{red}{\tan x = 3 \tan y}$ dengan $x, y$ lancip. Dengan menggunakan identitas selisih sudut pada tangen, kita peroleh $\begin{aligned} \tan x-y & = \dfrac{\color{red}{\tan x}-\tan y}{1+\color{red}{\tan x} \tan y} \\ \tan \dfrac{\pi}{6} &= \dfrac{\color{red}{3 \tan y}-\tan y}{1+\color{red}{3 \tan y} \tan y} \\ \dfrac{1}{\sqrt3} & = \dfrac{2 \tan y}{1 + 3 \tan^2 y} \\ 1+3 \tan^2 y & = 2\sqrt3 \tan y \\ \sqrt3 \tan y-1^2 & = 0 \\ \sqrt3 \tan y-1 & = 0 \\ \tan y & = \dfrac{1}{\sqrt3} \\ \Rightarrow y & = \dfrac{\pi}{6} \end{aligned}$ Karena $x-y=\dfrac{\pi}{6}$ dan $y=\dfrac{\pi}{6}$, berarti $x=\dfrac{\pi}{3}$. Jadi, nilai $\boxed{x+y=\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\pi}{2}}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 8 Diketahui $\sin \alpha = \dfrac35$ dan $\cos \beta = \dfrac{12}{13}$ $\alpha$ dan $\beta$ sudut lancip. Nilai $\sin \alpha + \beta = \cdots \cdot$ A. $\dfrac{56}{65}$ D. $\dfrac{20}{65}$ B. $\dfrac{48}{65}$ E. $\dfrac{16}{65}$ C. $\dfrac{36}{65}$ Pembahasan Diketahui $\begin{aligned} \sin \alpha & = \dfrac35 \\ \cos \beta & = \dfrac{12}{13} \\ \alpha, \beta~&\text{lancip}. \end{aligned}$ Nilai sinus untuk sudut $\beta$ dan kosinus untuk sudut $\alpha$ akan bernilai positif karena $\alpha, \beta$ keduanya di kuadran pertama. Perhatikan bahwa $\begin{aligned} \cos \alpha & = + \sqrt{1-\sin^2 \alpha} \\ & = \sqrt{1-\left\dfrac35\right^2} \\ & = \sqrt{1-\dfrac{9}{25}} \\ & = \sqrt{\dfrac{16}{25}} = \dfrac45 \end{aligned}$ dan $\begin{aligned} \sin \beta & = + \sqrt{1-\cos^2 \beta} \\ & = \sqrt{1-\left\dfrac{12}{13}\right^2} \\ & = \sqrt{1-\dfrac{144}{169}} \\ & = \sqrt{\dfrac{25}{169}} = \dfrac{5}{13} \end{aligned}$ Dengan menggunakan identitas jumlah sudut sinus, kita peroleh $\begin{aligned} \sin \alpha + \beta & = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \\ & = \dfrac35 \cdot \dfrac{12}{13} + \dfrac45 \cdot \dfrac{5}{13} \\ & = \dfrac{36}{65}+\dfrac{20}{65} = \dfrac{56}{65} \end{aligned}$ Jadi, nilai $\boxed{\sin \alpha + \beta = \dfrac{56}{65}}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 9 Diketahui $\cos x = \dfrac{12}{13}$. Nilai $\tan \dfrac12x = \cdots \cdot$ A. $\dfrac{1}{26}$ D. $\dfrac{5}{\sqrt{26}}$ B. $\dfrac{1}{5}$ E. $\dfrac{5}{13}$ C. $\dfrac{1}{\sqrt{26}}$ Pembahasan Diketahui $\cos x = \dfrac{12}{13}$. Dengan menggunakan identitas Pythagoras, diperoleh $\begin{aligned} \sin x & = \sqrt{1-\cos^2 x} \\ & = \sqrt{1-\left\dfrac{12}{13}\right^2} \\ & = \sqrt{\dfrac{25}{169}} = \dfrac{5}{13} \end{aligned}$ Perhatikan bahwa $\tan \dfrac12x$ dapat ditentukan dengan menggunakan identitas setengah sudut. $\begin{aligned} \tan \dfrac12x & = \dfrac{1-\cos x}{\sin x} \\ & = \dfrac{1-\dfrac{12}{13}}{\dfrac{5}{13}} \\ & = \dfrac{\dfrac{1}{\cancel{13}}}{\dfrac{5}{\cancel{13}}} = \dfrac15 \end{aligned}$ Jadi, nilai dari $\boxed{\tan \dfrac12x = \dfrac15}$ Jawaban B [collapse] Soal Nomor 10 Bentuk lain dari $\dfrac{1+\cos 2A}{\sin 2A}$ adalah $\cdots \cdot$ A. $\sin A$ D. $\tan A$ B. $\cos A$ E. $1+\sin A$ C. $\cot A$ Pembahasan Gunakan identitas sudut ganda berikut. $\boxed{\begin{aligned} \cos 2A & = 1-2 \sin^2 A \\ \sin 2A & = 2 \sin A \cos A \end{aligned}}$ Kita akan memperoleh $$\begin{aligned} \dfrac{1+\cos 2A}{\sin 2A} & = \dfrac{1 + 1-2 \sin^2 A}{2 \sin A \cos A} \\ & = \dfrac{2-2 \sin^2 A}{2 \sin A \cos A} \\ & = \dfrac{21 -\sin^2 A}{2 \sin A \cos A} \\ & = \dfrac{2 \cos^2 A}{2 \sin A \cos A} \\ & = \dfrac{\cos A}{\sin A} = \cot A \end{aligned}$$Jadi, bentuk lain dari $\dfrac{1+\cos 2A}{\sin 2A}$ adalah $\boxed{\cot A}$ Jawaban C [collapse] Soal Nomor 11 Jika $\tan \alpha = 1$ dan $\tan \beta = \dfrac13$ dengan $\alpha, \beta$ sudut lancip, maka $\sin \alpha-\beta = \cdots \cdot$ A. $\dfrac23\sqrt5$ D. $\dfrac25$ B. $\dfrac15\sqrt5$ E. $\dfrac15$ C. $\dfrac12$ Pembahasan Diketahui $\begin{aligned} \tan \alpha & = 1 \\ \tan \beta & = \dfrac{1}{3} \\ \alpha, \beta~&\text{lancip}. \end{aligned}$ Nilai sinus dan kosinus untuk sudut $\beta$ dan sudut $\alpha$ akan bernilai positif karena $\alpha, \beta$ keduanya di kuadran pertama. Karena $\tan \alpha = \dfrac{\text{de}}{\text{sa}} = \dfrac{1}{1}$, maka $\begin{aligned} \sin \alpha & = \dfrac{ \text{de}}{\text{mi}} = + \dfrac{1}{\sqrt{1+1}} = \dfrac{1}{\sqrt2} \\ \cos \alpha & = \dfrac{ \text{sa}}{\text{mi}} = + \dfrac{1}{\sqrt{1+1}} = \dfrac{1}{\sqrt2} \end{aligned}$ Karena $\tan \beta = \dfrac{\text{de}}{\text{sa}} = \dfrac{1}{3}$, maka $\begin{aligned} \sin \beta & = \dfrac{ \text{de}}{\text{mi}} = + \dfrac{1}{\sqrt{1+3^2}} = \dfrac{1}{\sqrt{10}} \\ \cos \beta & = \dfrac{ \text{sa}}{\text{mi}} = +\dfrac{3}{\sqrt{1+3^2}} = \dfrac{3}{\sqrt{10}} \end{aligned}$ Dengan menggunakan identitas selisih sudut sinus, kita peroleh $$\begin{aligned} \sin \alpha- \beta & = \sin \alpha \cos \beta-\cos \alpha \sin \beta \\ & = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \cdot \dfrac{3}{\sqrt{10}}-\dfrac{1}{\sqrt{2}} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{10}} \\ & = \dfrac{3}{\sqrt{20}}-\dfrac{1}{\sqrt{20}} = \dfrac{2}{\sqrt{20}} = \dfrac15\sqrt5 \end{aligned}$$Jadi, nilai $\boxed{\sin \alpha-\beta = \dfrac15\sqrt5}$ Jawaban B [collapse] Soal Nomor 12 Diketahui $\tan \alpha-\tan \beta = \dfrac15$ dan $\sin \alpha-\beta = \dfrac16$ dengan $\alpha$ dan $\beta$ sudut lancip. Nilai dari $\cos \alpha \cos \beta = \cdots \cdot$ A. $\dfrac16$ C. $\dfrac12$ E. $\dfrac65$ B. $\dfrac15$ D. $\dfrac56$ Pembahasan Perhatikan bahwa $\sin \alpha-\beta = \dfrac16$ dapat ditulis kembali dalam bentuk lain menggunakan identitas selisih sudut sinus, yakni $\color{red}{\sin \alpha \cos \beta-\cos \alpha \sin \beta = \dfrac16}.$ Dari persamaan $\tan \alpha-\tan \beta = \dfrac15$, kita peroleh $\begin{aligned} \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}-\dfrac{\sin \beta}{\cos \beta} & = \dfrac15 \\ \dfrac{\color{red}{\sin \alpha \cos \beta-\cos \alpha \sin \beta}}{\cos \alpha \cos \beta} & = \dfrac15 \\ \dfrac{\color{red}{\frac16}}{\cos \alpha \cos \beta} & = \dfrac15 \\ \cos \alpha \cos \beta & = \dfrac56 \end{aligned}$ Jadi, nilai dari $\boxed{\cos \alpha \cos \beta=\dfrac56}$ Jawaban D [collapse] Soal Nomor 13 Jika $\sin x + \cos x = -\dfrac15$ dan $\dfrac{3\pi}{4} \leq x < \pi$, maka nilai $\sin 2x = \cdots \cdot$ A. $-\dfrac{24}{25}$ D. $\dfrac{8}{25}$ B. $-\dfrac{7}{25}$ E. $\dfrac{24}{25}$ C. $\dfrac{7}{25}$ Pembahasan Diketahui $\sin x + \cos x = -\dfrac15$. Kuadratkan kedua ruas untuk mendapatkan $$\begin{aligned} \sin x + \cos x^2 & = \left-\dfrac15\right^2 \\ \color{red}{\sin^2 x} + \color{blue}{2 \sin x \cos x} + \color{red}{\cos^2 x} & = \dfrac{1}{25} \\ 1 + \sin 2x & = \dfrac{1}{25} \\ \sin 2x & = \dfrac{1}{25}-1 \\ &= -\dfrac{24}{25} \end{aligned}$$Catatan $\boxed{\begin{aligned} \color{red}{\sin^2 x + \cos^2 x} & = \color{red}{1} \\ \color{blue}{2 \sin x \cos x} & = \color{blue}{\sin 2x} \end{aligned}}$ Jadi, nilai dari $\boxed{\sin 2x = -\dfrac{24}{25}}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 14 Jika $\sin \theta + \cos \theta = \dfrac12$, maka nilai dari $\sin^3 \theta + \cos^3 \theta = \cdots \cdot$ A. $\dfrac12$ D. $\dfrac58$ B. $\dfrac34$ E. $\dfrac{11}{16}$ C. $\dfrac{9}{16}$ Pembahasan Dari persamaan $\color{blue}{\sin \theta + \cos \theta = \dfrac12}$, kuadratkan kedua ruasnya untuk mendapatkan $\begin{aligned} \sin \theta + \cos \theta^2 & = \dfrac12^2 \\ \color{red}{\sin^2 \theta} + 2 \sin \theta \cos \theta + \color{red}{\cos^2 \theta} & = \dfrac14 \\ \color{red}{1} + 2 \sin \theta \cos \theta & = \dfrac14 \\ 2 \sin \theta \cos \theta & = -\dfrac34 \\ \sin \theta \cos \theta & = -\dfrac38 \end{aligned}$ Gunakan rumus pemfaktoran $a^3+b^3 = a+b^3-3aba+b$ Untuk $a = \sin \theta$ dan $b = \cos \theta$, kita peroleh $$\begin{aligned} \sin^3 \theta + \cos^3 \theta & = \color{blue}{\sin \theta + \cos \theta}^3-3 \sin \theta \cos \theta\color{blue}{\sin \theta + \cos \theta} \\ & = \left\dfrac12\right^3-3\left-\dfrac38\right\left\dfrac12\right \\ & = \dfrac18 + \dfrac{9}{16} = \dfrac{11}{16} \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\sin^3 \theta + \cos^3 \theta = \dfrac{11}{16}}$ Jawaban E [collapse] Baca Juga Soal dan Pembahasan – Persamaan Trigonometri Soal Nomor 15 Jika $$\begin{pmatrix} \tan x & 1 \\ 1 & \tan x \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos^2 x \\ \sin x \cos x \end{pmatrix} = \dfrac12\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$$ dengan $0 \leq x \leq \pi$ dan $b=2a$, maka nilai $x$ yang memenuhi adalah $\cdots \cdot$ A. $60^{\circ}$ C. $30^{\circ}$ E. $15^{\circ}$ B. $45^{\circ}$ D. $20^{\circ}$ Pembahasan Ubah terlebih dahulu persamaan matriks di atas dalam bentuk persamaan aljabar biasa dengan melakukan perkalian matriks. Kita akan memperoleh dua persamaan, yaitu $$\begin{cases} \tan x \cos^2 x + \sin x \cos x & = \dfrac{a}{2} && \cdots 1 \\ \cos^2 x + \tan x \sin x \cos x & = \dfrac{b}{2} && \cdots 2 \end{cases}$$Tinjau persamaan $2$. Karena $\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$ identitas perbandingan dan $\cos^2 x = 1-\sin^2 x$ Identitas Pythagoras, maka kita peroleh $$\begin{aligned} 1-\sin^2 x+\dfrac{\sin x}{\cancel{\cos x}} \cdot \sin x \cdot \cancel{\cos x} & = \dfrac{b}{2} \\ 1-\sin^2 x + \sin^2 x & = \dfrac{b}{2} \\ 1 & = \dfrac{b}{2} \\ b & = 2 \end{aligned}$$Karena diketahui bahwa $b=2a$ dan kita dapatkan $b=2$, maka $a=1$. Substitusi $a=1$ pada persamaan $1$. $$\begin{aligned} \tan x \cos^2 x + \sin x \cos x & = \dfrac12 \\ \dfrac{\sin x}{\cancel{\cos x}} \cdot \cancelto{\cos x}{\cos^2 x} + \sin x \cos x & = \dfrac12 \\ \sin x \cos x + \sin x \cos x & = \dfrac12 \\ \color{red}{2 \sin x \cos x} & = \dfrac12 \\ \color{red}{\sin 2x} & = \dfrac12 \end{aligned}$$Diketahui $0 \leq x \leq \pi.$ Sinus bernilai $\dfrac12$ ketika sudutnya $30^{\circ}$ atau $150^{\circ}$. Untuk itu, kita tuliskan $\sin 2x = \sin 30^{\circ}$ yang berarti $x = 15^{\circ}$ dan $\sin 2x = \sin 150^{\circ}$ yang berarti $x = 75^{\circ}.$ Jadi, nilai $x$ yang memenuhi berdasarkan pilihan jawaban yang tersedia adalah $\boxed{15^{\circ}}$ Jawaban E [collapse] Soal Nomor 16 Jika sudut lancip $\alpha$ memenuhi $\sin \alpha = \dfrac13\sqrt3$, maka $\tan \left\dfrac12 \pi-\alpha\right+3 \cos \alpha = \cdots \cdot$ A. $3\sqrt2-\sqrt3$ D. $\sqrt6-\sqrt2$ B. $3\sqrt2+\sqrt3$ E. $\sqrt3+\sqrt2$ C. $\sqrt6+\sqrt2$ Pembahasan Diketahui $\sin \alpha = \dfrac{\sqrt3}{3} = \dfrac{\text{de}}{\text{mi}}.$ Dengan menggunakan Teorema Pythagoras, kita peroleh $\text{sa} = \sqrt{3^2-\sqrt3^2} = \sqrt6$ Untuk itu, didapat $\begin{aligned} \cos \alpha & = \dfrac{\text{sa}}{\text{mi}} = \dfrac{\sqrt6}{3} \\ \cot \alpha & = \dfrac{\text{sa}}{\text{de}} = \dfrac{\sqrt6}{\sqrt3} = \sqrt2 \end{aligned}$ Perhatikan bahwa $\tan \left\dfrac12 \pi-\alpha\right = \cot \alpha$. Dengan demikian, $$\begin{aligned} \tan \left\dfrac12 \pi-\alpha\right+3 \cos \alpha & = \cot \alpha + 3 \cos \alpha \\ & = \sqrt2 + \cancel{3} \cdot \dfrac{\sqrt6}{\cancel{3}} \\ & = \sqrt6 + \sqrt2 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\tan \left\dfrac12 \pi-\alpha\right+3 \cos \alpha = \sqrt6 + \sqrt2}$ Jawaban C [collapse] Soal Nomor 17 Bentuk lain dari $2 \cos \left\dfrac14 \pi + x\right \sin \left\dfrac14 \pi + x\right = \cdots \cdot$ A. $1-\sin 2x$ D. $1+\cos 2x$ B. $1-\cos 2x$ E. $\cos 2x$ C. $1+\sin 2x$ Pembahasan Dengan menggunakan identitas sudut ganda $\boxed{\sin 2A = 2 \sin A \cos A}$ diperoleh bahwa $\begin{aligned} & 2 \cos \left\dfrac14 \pi + x\right \sin \left\dfrac14 \pi + x\right \\ & = \sin 2\left\dfrac14 \pi + x\right \\ & = \sin \left\dfrac12 \pi + 2x\right \\ & = \cos 2x \end{aligned}$ Jadi, nilai dari $$\boxed{2 \cos \left\dfrac14 \pi + x\right \sin \left\dfrac14 \pi + x\right = \cos 2x}$$Jawaban E [collapse] Soal Nomor 18 Nilai dari $\sin 160^{\circ} + \sin 140^{\circ}-\cos 10^{\circ}$ adalah $\cdots \cdot$ A. $2$ C. $0$ E. $-2$ B. $1$ D. $-1$ Pembahasan Gunakan identitas jumlah fungsi sinus $$\boxed{\sin A + \sin B = 2 \sin \dfrac{A+B}{2} \cos \dfrac{A+B}{2}}$$Kita akan memperoleh $$\begin{aligned} & \color{red}{\sin 160^{\circ} + \sin 140^{\circ}}-\cos 10^{\circ} \\ & = 2 \sin \dfrac{160^{\circ}+140^{\circ}}{2} \cos \dfrac{160^{\circ}-140^{\circ}}{2}-\cos 10^{\circ} \\ & = 2 \sin 150^{\circ} \cos 10^{\circ}-\cos 10^{\circ} \\ & = 2 \cdot \dfrac12 \cdot \cos 10^{\circ}-\cos 10^{\circ} = 0 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{\sin 160^{\circ} + \sin 140^{\circ}-\cos 10^{\circ} = 0}$ Jawaban C [collapse] Baca Juga Soal dan Pembahasan – Persamaan Trigonometri Berbentuk a cos x + b sin x = c Soal Nomor 19 Nilai dari $\cos^2 30^{\circ} + \cos^2 40^{\circ}+$ $\cos^2 50^{\circ} +\cos^2 60^{\circ}$ adalah $\cdots \cdot$ A. $2$ C. $1$ E. $0$ B. $\dfrac32$ D. $\dfrac12$ Pembahasan Gunakan identitas Pythagoras dan identitas relasi sudut di kuadran pertama berikut. $\boxed{\begin{aligned} \cos^2 x & = 1-\sin^2 x \\ \sin x & = \cos 90^{\circ}-x \end{aligned}}$ Kita akan memperoleh $$\begin{aligned} & \cos^2 30^{\circ} + \cos^2 40^{\circ}+\cos^2 50^{\circ} +\cos^2 60^{\circ} \\ & = 1-\cancel{\sin^2 30^{\circ}} + 1-\bcancel{\sin^2 40^{\circ}} + \bcancel{\sin^2 40^{\circ}} + \cancel{\sin^2 30^{\circ}} \\ & = 1+1=2 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $$\boxed{\cos^2 30^{\circ} + \cos^2 40^{\circ}+\cos^2 50^{\circ} +\cos^2 60^{\circ}=2}$$Jawaban A [collapse] Soal Nomor 20 Pada segitiga siku-siku $ABC$ berlaku $\sin A \sin B = 0,5$. Jika sudut siku-sikunya di $A$, maka nilai dari $\cos A+B= \cdots \cdot$ A. $1$ C. $0$ E. $-1$ B. $0,5$ D. $-0,5$ Pembahasan Diberikan $\triangle ABC$ siku-siku. Diketahui $\sin A \sin B = 0,5$. Diketahui juga bahwa siku-sikunya di titik $A$, berarti dapat ditulis $\sin 90^{\circ} \sin B = 0,5.$ Karena $\sin 90^{\circ} = 1$, maka haruslah $\sin B = 0,5.$ Dengan menggunakan relasi sudut sinus dan kosinus, diperoleh $\begin{aligned} \cos A+B & = \cos 90^{\circ}+B \\ & = -\sin B = -0,5 \end{aligned}$ Jadi, nilai dari $\boxed{\cos A+B=-0,5}$ Jawaban D [collapse] Soal Nomor 21 Pada segitiga siku-siku $ABC$ berlaku $\cos A \cos B = \dfrac13$. Nilai $\cos 2A = \cdots \cdot$ A. $\dfrac13\sqrt2$ D. $\dfrac19$ B. $\dfrac23\sqrt2$ E. $\dfrac13\sqrt5$ C. $1$ Pembahasan Perhatikan bahwa $\cos A \cos B = \dfrac13$. Apabila $A = 90^{\circ}$ atau $B = 90^{\circ}$, maka persamaan tersebut tidak berlaku sebab $\cos 90^{\circ} = 0$. Artinya, sudut siku-sikunya di $C$ ditulis $\angle C = 90^{\circ}$. Ini juga berarti $B = 90^{\circ}-A$. Dengan demikian, diperoleh $\begin{aligned} \cos A \cos B & = \dfrac13 \\ \cos A \cos 90^{\circ}-A & = \dfrac13 \\ \cos A \sin A & = \dfrac13 \\ \text{Kalikan}~2~\text{pada kedua ruas} \\ 2 \cos A \sin A & = \dfrac23 \\ \sin 2A & = \dfrac23 \end{aligned}$ Catatan Ingat bahwa $\boxed{\begin{aligned} \cos 90^{\circ}-A & = \sin A \\ 2 \sin A \cos A & = \sin 2A \end{aligned}}$ Dengan menggunakan pendekatan segitiga siku-siku seperti gambar, diperoleh $\boxed{\cos 2A = \dfrac{\text{sa}}{\text{mi}} = \dfrac13\sqrt5}$ Jawaban E [collapse] Soal Nomor 22 Jika $\dfrac12x + y = \dfrac{\pi}{4}$, maka $\tan x = \cdots \cdot$ A. $\dfrac{1-\tan^2 y}{2 \tan y}$ D. $\dfrac{\tan^2 y}{1+\tan y}$ B. $\dfrac{\tan y+1}{1-\tan y}$ E. $\dfrac{1-2 \tan y}{1+\tan^2 y}$ C. $\dfrac{2 \tan y}{1+\tan y}$ Pembahasan Perhatikan bahwa dengan mengalikan kedua ruas dengan $2$, kita peroleh $\begin{aligned} \dfrac12x+y =\dfrac{\pi}{4} \Rightarrow x + 2y & = \dfrac{\pi}{2} \\ x & = \dfrac{\pi}{2}-2y \end{aligned}$ Selanjutnya, gunakan identitas sudut ganda untuk tangen. $\boxed{\begin{aligned} \tan 90^{\circ}-\theta & = \cot \theta \\ \tan 2\theta & = \dfrac{2 \tan \theta}{1-\tan^2 \theta} \end{aligned}}$ Untuk kotangen, balik saja posisi pembilang dan penyebutnya. Dengan demikian, $\begin{aligned} \tan x & = \tan \left\dfrac{\pi}{2}-2y\right \\ & = \cot 2y \\ & = \dfrac{1-\tan^2 y}{2 \tan y} \end{aligned}$ Jadi, diperoleh $\boxed{\tan x = \dfrac{1-\tan^2 y}{2 \tan y}}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 23 Jika $\sin 3x+2y = \dfrac13$ dan $\cos 3x-4y = \dfrac34$, maka nilai $\dfrac{\sin 6y}{\cos 9x} = \cdots \cdot$ A. $\dfrac{9-6\sqrt{14}}{21-4\sqrt{14}}$ B. $\dfrac{3-\sqrt{14}}{1+4\sqrt{14}}$ C. $\dfrac{3-2\sqrt{7}}{4-2\sqrt{14}}$ D. $\dfrac{\sqrt{7}}{25+4\sqrt{14}}$ E. $\dfrac{3+5\sqrt{7}}{12-4\sqrt{14}}$ Pembahasan Diketahui $\sin 3x+2y = \dfrac13$ dan $\cos 3x-4y = \dfrac34$. Misalkan $\alpha = 3x + 2y$ dan $\beta = 3x-4y$ sehingga $$\begin{aligned} 6y & = 3x+2y-3x-4y = \alpha-\beta \\ 9x &= 23x+2y+3x-4y = 2\alpha+\beta \end{aligned}$$ Perhatikan bahwa $\sin \alpha = \dfrac13$ sehingga dengan menggunakan pendekatan segitiga siku-siku, diperoleh $\cos \alpha = \dfrac{2\sqrt2}{3}$. Begitu juga untuk $\cos \beta = \dfrac34$, diperoleh $\sin \beta = \dfrac{\sqrt7}{4}$. Selanjutnya, kita peroleh $\begin{aligned} \sin 6y & = \sin \alpha-\beta \\ & = \sin \alpha \cos \beta+\cos \alpha \sin \beta \\ & = \dfrac13 \cdot \dfrac34-\dfrac{\sqrt7}{4} \cdot \dfrac{2\sqrt2}{3} \\ & = \dfrac{3-2\sqrt{14}}{12} \end{aligned}$ dan $$\begin{aligned} \cos 9x & = \cos 2\alpha+\beta \\ & = \cos 2\alpha \cos \beta-\sin 2\alpha \sin \beta \\ & = \cos^2 \alpha-\sin^2 \alpha \cos \beta-2 \sin \alpha \cos \alpha \sin \beta \\ & = \left\left\dfrac{2\sqrt2}{3}\right^2-\left\dfrac13\right^2\right \cdot \dfrac34-\cancel{2} \cdot \dfrac13 \cdot \dfrac{2\sqrt2}{3} \cdot \dfrac{\sqrt7}{\cancelto{2}{4}} \\ & = \dfrac{7}{12}-\dfrac{2\sqrt{14}}{18} = \dfrac{21-4\sqrt{14}}{36} \end{aligned}$$Dengan demikian, didapat $\begin{aligned} \dfrac{\sin 6y}{\cos 9x} & = \dfrac{3-2\sqrt{14}}{\cancel{12}} \times \dfrac{\cancelto{3}{36}}{21-4\sqrt{14}} \\ & = \dfrac{9-6\sqrt{14}}{21-4\sqrt{14}} \end{aligned}$ Jadi, nilai dari $\dfrac{\sin 6y}{\cos 9x}$ adalah $\boxed{\dfrac{9-6\sqrt{14}}{21-4\sqrt{14}}}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 24 Nilai dari $20 \cos 20^{\circ} \cos 40^{\circ} \cos 80^{\circ}$ adalah $\cdots \cdot$ A. $\dfrac12$ C. $\dfrac52$ E. $\dfrac92$ B. $\dfrac32$ D. $\dfrac72$ Pembahasan Gunakan identitas trigonometri berikut. $$\boxed{\begin{aligned} 2 \cos x \cos y & = \cos x+y + \cos x-y \\ \cos x + \cos y & = 2 \cos \dfrac12x+y \cos \dfrac12x-y \end{aligned}}$$Untuk itu, dapat kita peroleh $$\begin{aligned} & 20 \cos 20^{\circ} \cos 40^{\circ} \cos 80^{\circ} \\ & = 102 \cos 20^{\circ} \cos 40^{\circ} \cos 80^{\circ} \\ & = 10\cos 60^{\circ} + \cos -20^{\circ} \cos 80^{\circ} \\ & = 10 \cos 60^{\circ} \cos 80^{\circ} + 10 \cos 20^{\circ} \cos 80^{\circ} \\ & = 10 \left\dfrac12\right \cos 80^{\circ} + 52 \cos 20^{\circ} \cos 80^{\circ} \\ & = 5 \cos 80^{\circ} + 5\cos 100^{\circ} + \cos -60^{\circ} \\ & = 5\cos 80^{\circ} + \cos 100^{\circ} + \dfrac52 \\ & = 52 \cos \dfrac1280^{\circ}+100^{\circ} \cos \dfrac1280^{\circ}-100^{\circ} + \dfrac52 \\ & = 52 \cos 90^{\circ} \cos 10^{\circ} + \dfrac52 \\ & = 520 \cos 10^{\circ} + \dfrac52 \\ & = \dfrac52 \end{aligned}$$Jadi, nilai dari $\boxed{20 \cos 20^{\circ} \cos 40^{\circ} \cos 80^{\circ} = \dfrac52}$ Jawaban C [collapse] Soal Nomor 25 Bila $\sin 40+x^{\circ} = a$ dengan $0^{\circ}

diketahui sin a cos b 1 3